如何通俗理解泰勒公式

“初次見你，我是那么討厭你，后來的生活越來越離不開你，現在你是我心中的女皇。” ——獻給美麗的泰勒公式

1. 初識泰勒公式

當我們開始上高數課或數分課大約二個月的時候，就會碰到這個令人生厭的泰勒公式，因為她太麻煩太復雜。一是她有那么多項，二是她要我們求那么多的各階導數，三是帶著一個不知道是幾的中值余項，拜托，既然不知道中值是幾，還弄出這個余項干么？哦，打住，別抱怨，你會慢慢愛上她的?。?！

2.極限問題的核心

當 x>0 很小時，考慮 x、sin x 和 tan x 的差別有多大？回答這個問題首先要確定一個標準，就是他們之間是簡單倍數關系？還是“數量級”的不同？對于初學者來說，可能還需要不少腦洞。但對于進階者來說，馬上就可以知道結果，因為當 x→0 時 sin x ～ tan x ～x，三者是等價的，不太確切地說是三者幾乎相等(注意不是絕對相等)。哦，你覺得簡單說明你已經差不多理解等價無窮小了。

那么進一步，把三者稍微運算一下，看看當 x>0 很小時，tan xㄧsin x 和 x^² 的差別有多大？稍有經驗的同學懂得乘積情況下，因子可以用等價無窮小替換來求極限，故前者比后者小的多，因為 tan xㄧsin x=sin x (1ㄧcos x)/cos x～(x^³⁾/2，他比 x^² 小的多，完全不在一個“數量級”，這里所說的“數量級”其實就是 x 的次數，tan xㄧsin x 相當于 x ^3，他遠遠小于 x^² 。瞧，這就是階的比較。

溫馨提示：
只要兩個無窮小作商，極限為0，我們就說分子是比分母高階的無窮小。

如果你足夠細心，一定發現我們把 tan xㄧsin x 轉化為 (x^³⁾/2 了。這是最普遍的最高效的比較階的方法，因為冪函數最容易作階的比較了，x^³ 就比 x^² 多一個 x，因此 tan xㄧsin x 是比 x^² 高階的無窮小。

當 x→0 時，函數 f(x)～cx^^k，就說 f(x) 是 x 的 k 階無窮小，其中 c 和 k 都為非0常數。稱 cx^^k 是 f(x) 的主項。找到函數各因子的主項就找到了函數的極限。

溫馨提示：
為了簡化無窮小階的比較，我們通常把非冪函數轉化為冪函數。
極限的核心問題是無窮小階的問題！

可以看出，函數 tan xㄧsin x 的主項是 (x^³⁾/2。但是找一個函數的主項不像這個例子一樣簡單，于是問題來了，如何找函數的主項呢？

3.泰勒公式的威力

一個函數 f(x) 在點 x₀ 的泰勒展開式是

其中 R_n(x)是余項，可以有兩種形式，一種稱為拉格朗日余項，即

適用于展開式的誤差估計，以及其他更加精細的操作，其中 ξ 介于 x 和 x₀ 之間。另一種稱為皮亞諾余項，即

表示展開式帶有這么一個誤差項，大致和 (xㄧx₀)^ⁿ 等價的一個無窮小。

在處理極限問題是我們更多用的是 x₀＝0 時的泰勒公式，也稱為麥克勞林公式：

例如，sin x 和 tan x 的展開式為：

泰勒公式在求函數極限時有很高的效率，原因在于應用泰勒公式可以方便地求出函數的主項，如 sin x 和 tan x 的主項都是 x，而 tan xㄧsin x 的主項為 (x^³⁾/2，這是因為 tan xㄧsin x 的泰勒公展式為：

同理 sin xㄧx 的主項為 ㄧ(x^³⁾/6， sin xㄧx + (x^³⁾/6主項為 (x^⁵⁾/120。

溫馨提示：
應用泰勒公式可以方便地求出函數的主項。

許多復雜的函數極限問題，應用泰勒公式都可以完美解決。

4.一個復雜的例子

本例來源于吉米多維奇習題集第1407號問題：

求 tan(sin x)ㄧsin(tan x) 的主項。

因此有下列極限

5.美麗的泰勒公式

高數大廈起極限
階的比較破萬難
敢問階路在何方
泰勒公式若等閑

玩不轉泰勒公式，請不要說“高數我能行”

玩不轉泰勒公式，請不要說“我是數學人”